In dieser Arbeit wird die variationelle Monte-Carlo-Methode unter Verwendung der restrictedBoltzmann Machine (RBM), einem neuronalen Feedforward-Netz, untersucht, um die Berechnungvon thermodynamischen Variablen bei endlicher Temperatur in Quantenspin-Modellen in einer undzwei Dimensionen zu ermöglichen. Dazu sind mindestens drei verschiedene Ansätze anwendbar, diezunächst für das eindimensionale Heisenberg-Modell diskutiert werden, bevor sie auf daszweidimensionale Heisenberg- und das J1 -J2 -Modell angewendet werden. Im letzten Fall wird dannder vermutete Phasenübergang bei endlicher Temperatur untersucht. Die drei verwendetenMethoden umfassen die Purification-Methode, die Sampling-Methode und die Verwendung vonvariationellen, typischen Quantenzuständen. Der Grund für die Wahl des RBM als Variationsansatzwird in dieser Studie durch die allgemeine Theorie der künstlichen neuronalen Netze und dieUntersuchungen und Erkenntnisse im Zusammenhang mit der Grundzustandsoptimierungsmethodemotiviert. Mit der Purification- und der Sampling-Methode können endliche Temperatur-korrelationsfunktionen im eindimensionalen Heisenberg-Modell erfolgreich berechnet werden. Sogardie Bestimmung der freien Energie ist möglich. Leider zeigt sich, dass die Idee, die typischenZustände in einem kombinierten variationellen Ansatz, bestehend aus dem RBM und einempair-product Ansatz, zu verwenden, aufgrund der hohen Verschränkungsentropie dieser Zustände zuungenauen Ergebnissen bei niedrigen Temperaturen führt. Um diese Untersuchung abzurunden, wird dieEchtzeitentwicklung bei unendlicher Temperatur durchgeführt und die Skalierung der Anzahl derhidden units dokumentiert. Zuletzt werden die Purification- und die Sampling-Methode mit Erfolgauch auf das J1-J2 Modell auf dem Quadratgitter angewendet. Leider verhindert ein Anstieg derAblehnungswahrscheinlichkeit im Monte-Carlo-Algorithmus, dass genaue Ergebnisse für niedrigeTemperaturen berechnet werden können.

In this work, the variational Monte Carlo (VMC) method using the restricted Boltzmann machine (RBM), a feed-forward neural network, is investigated to allow for the computation of finite-temperature results of quantum spin models in one and two dimensions. To accomplish this task, there are, at least, three different approaches possible that are discussed and compared for the Heisenberg model in one dimension before they are deployed to the Heisenberg and the J1-J2 modelin two dimensions. In the latter case, the correct detection of the presumed finite-temperature phase transition is studied. The three different types of methods studied in a variational setting are comprised by the purification method, the sampling method, and the use of variational thermalpure quantum states and thus the notion of quantum typicality.-

In the proceeding of this study, the reason for choosing the RBM as the predestined variational ansatz is motivated by general (artificial)neural network theory and investigations and findings related to the ground state optimization method. In the purification and the sampling method, finite temperature correlation functions for the one-dimensional Heisenberg model are computed successfully and even the free energy is attainable. Unfortunately, the idea of using quantum typicality in a combined variational ansatz, using the RBM and a pair-product ansatz, is shown to lead to inaccurate results at low temperatures due to the high entanglement entropy of those variational states. To complete this investigation, the real-time evolutionat infinite temperature is studied and the unfavourable scaling of the number of hidden units documented. Finally, the purification and the sampling method are applied to the J1 -J2 model onthe square lattice.-

Unfortunately, the computation of accurate results for very low temperatures is difficult due to an increase in the rejection probability, an issue related to the Monte Carlo samplingand known as critical slowing down.