Die Untersuchung von supraleitenden und topologischen Materialien stellt aufgrund vielversprechender Anwendungsmöglichkeiten in der Quanten- und Spin-Informationstechnologie ein Kernthema der modernen Festkörperphysik dar. In dieser Arbeit werden zwei dieser Materialien, LiFeAs und tr-PtBi2, mithilfe von Rastertunnelmikroskopie untersucht. Dabei konnte im Falle von LiFeAs die Signatur eines s-Ordnungsparameters in an Defekten gebundenen Zuständen gefunden werden. Rastertunnelspektroskopie der tr-PtBi2 -Proben weist auf das Auftreten eines äußerst robusten supraleitenden Zustands hin. Das stark Orts- und Probenabhängige Verhalten der detektierten Zustandslücken weist jedoch auf einen stark inhomogenen Ordnungsparameters in tr-PtBi2 hin. Abschließend fand eine Studie der lokalen Variation der Zustandsdichte statt. In LiFeAs erlaubte diese, das Verhalten des Flussschlauchgitters unter Einfluss von externen magnetischen Feldern offenzulegen. Dabei wurde festgestellt, dass das Flussschlauchgitter in der hier vorliegenden Probe selbst bei hohen Feldern stark geordnet ist und der üblicherweise beobachtete Symmetrieübergang von einem hexagonalen zu einem quadratischen Gitter ausbleibt. Es wird argumentiert, dass verschiedene Faktoren wie der Kühlprozess, die Stöchiometrie der Probe, nematische Fluktuationen oder magnetoelastische Effekte die Struktur des Flussschlauchgitters in LiFeAs beeinflussen. Für tr-PtBi2 konnte anhand von Karten der differentiellen Leitfähigkeit die Quasiteilcheninterferenz ausgewertet werden. Hierin fanden sich mehrere dominante Streuprozesse, die auf die Streuung von Quasiteilchen zwischen Fermi-Arcs an der Oberfläche des Materials zurückzuführen waren. Dies bestätigt, dass es sich bei tr-PtBi2 um ein topologisches Weyl-Halbmetall handelt. In Verbindung mit der Beobachtung von supraleitenden Zuständen, lässt sich dieses Material als möglicher topologischer Supraleiter identifizieren.

The investigation of superconducting and topological materials represents a central topic of modern solid-state physics, promising a wide range of potential application, for example in quantum computing or spintronics. In this thesis, scanning tunneling microscopy has been employed to study two such Materials, LiFeAs and tr-PtBi2. By recording the differential conductance, in gap bound states, occurring at defect sites in LiFeAs, were detected and appeared to be in good agreement with a s_- order parameter. Tunneling spectra on tr-PtBi2 revealed the presence of a gap in the density of states. This gap indicates the presence of a robust superconducting state in this material. However, a significant sample dependence of the gab suggests a strongly inhomogeneous order parameter in tr-PtBi2. Finally, differential conductance maps revealed the local variation of the density of states for both materials. Through this the magnetic field dependent behavior of vortex matter in LiFeAs could be investigated and a highly ordered vortex lattice was detected for one of the samples even at high fields. Further, no signs of the commonly observed vortex lattice transition from a hexagonal to a square symmetry could be observed in any of the samples investigated here. It is argued that several factors are likely to determine the structure of the vortex lattice in LiFeAs such as details of the cooling procedure, sample stoichiometry, nematic fluctuations and magnetoelastic coupling. Differential conductance maps of tr-PtBi2 revealed complex quasiparticle interference patterns from which the dominant scattering vectors were extracted. By comparing these vectors with scattering patterns derived from density functional theory calculations, they could be attributed to the scattering between Fermi-Arcs, thereby confirming tr-PtBi2 as a topological Weyl-semimetal. These findings make tr-PtBi2 a prime candidate for a possible topological superconductor.